行列式
（1）行列式
什么是行列式？
$$
\left|
\matrix{
a & b \cr
c & d
}
\right|
$$
这就是行列式！
形如上面两竖线组成的就是行列式
其行数等于列数，行列等价.
（2）逆序数
将$1$ ~ $n$进行排列，枚举每对数字，如果大的在前，小的在后，这一对数就是一个逆序，这个排列逆序的总量就是逆序数.
准确的说：对于排列 $p$， 令 $1 \le i < j \le n$，若 $p_i > p_j$，则这是一个逆序对，所有取值中逆序对的数量就是这个排列的逆序数.
例如：2 3 5 4 1
对于这个排列，其所有逆序对为: 2 1、3 1、5 4、5 1、4 1，故其逆序数为 $5$， 记作$\tau(23541)=5$.
（3）奇排列 / 偶排列
奇排列：逆序数为奇数，即 $\tau(p)\mod 2 = 1$
偶排列：逆序数为偶数，即 $\tau(p)\mod 2 = 0$
例如上面的排列：$\tau(23541) = 5 \mod 2 = 1$，所以这是一个奇排列.
（4）行列式的计算
$n$ 阶行列式定义为：
$$ \left|
\matrix{
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \cr
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
}
\right| =
\sum (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)}
a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{n j_n}
$$
别被它吓到了！其实很简单！
从每一行中取出一个值，且这些值不是同列，将他们相乘。
如果这个取值方法的列标号是奇排列，再加上一个负号。
把所有情况再求和，就是行列式的结果！
例如：
【例1】求下列二阶行列式
$\left| \matrix{ 1 & 2 \cr 4 & 5 } \right|$
我们使用定义法来做：
所有排列：
$1 2 = a_{11} \times a_{22} = 1 \times 5 = 5，这是一个偶排列（τ(12)=0），故为正数$
$2 1 = a_{12} \times a_{21} = 2 \times 4 = 8 \times -1 = -8，这是一个偶排列（τ(21)=1），故为负数$
将上面所有数求和，结果为 $-3$
故答案为 $-3$
【例2】求下列三阶行列式。
$\left| \matrix{
1 & 2 & 3 \cr
4 & 5 & 6 \cr
7 & 8 & 9
} \right|$
先自行做一下，下方黑框中有题解，鼠标放上去就显示！
我们使用定义法来做：所有排列：
$1 2 3 = a_{11} \times a_{22} \times a_{33} = 1 \times 5 \times 9 = 45，这是一个偶排列（\tau(123) = 0），故为正数$
$1 3 2 = a_{11} \times a_{13} \times a_{12} = 1 \times 6 \times 8 = 48 \times -1 = -48，这是一个奇排列（\tau(132) = 1），故为负数$
$2 1 3 = 2 \times 4 \times 9 = 72 \times -1 = -72$
$2 3 1 = 2 \times 6 \times 7 = 84$
$3 1 2 = 3 \times 4 \times 8 = 96$
$3 2 1 = 3 \times 5 \times 7 = 105 \times -1 = -105$
将上面所有数求和，结果为 $0$居然是零诶！
（5）二阶行列式直接计算
$$
\left|
\matrix{
a & b \cr
c & d
}
\right|
= ad - bc
$$
【例】求下列二阶行列式
$\left|
\matrix{
\cos\theta & \sin\theta \cr
-\sin\theta & \cos\theta
}
\right|$
$原式 = cos^2\theta + sin^2\theta = 1$
