行列式

（1）行列式

什么是行列式？

\left| \matrix{ a & b \cr c & d } \right|

这就是行列式！

形如上面两竖线组成的就是行列式
其行数等于列数，行列等价.

（2）逆序数

将 $1$ ~ $n$ 进行排列，枚举每对数字，如果大的在前，小的在后，这一对数就是一个逆序，这个排列逆序的总量就是逆序数.

准确的说：对于排列 $p$ ，令 $1 \le i < j \le n$ ，若 $p_i > p_j$ ，则这是一个逆序对，所有取值中逆序对的数量就是这个排列的逆序数.

例如：2 3 5 4 1
对于这个排列，其所有逆序对为: 2 1、3 1、5 4、5 1、4 1，故其逆序数为 $5$ ，记作 $\tau(23541)=5$ .

（3）奇排列 / 偶排列

奇排列：逆序数为奇数，即 $\tau(p)\mod 2 = 1$

偶排列：逆序数为偶数，即 $\tau(p)\mod 2 = 0$

例如上面的排列： $\tau(23541) = 5 \mod 2 = 1$ ，所以这是一个奇排列.

（4）行列式的计算

$n$ 阶行列式定义为：

\left| \matrix{ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} } \right| = \sum (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{n j_n}

别被它吓到了！其实很简单！

从每一行中取出一个值，且这些值不是同列，将他们相乘。
如果这个取值方法的列标号是奇排列，再加上一个负号。
把所有情况再求和，就是行列式的结果！

例如：
【例1】求下列二阶行列式

$\left| \matrix{ 1 & 2 \cr 4 & 5 } \right|$

我们使用定义法来做：
所有排列：
$1 2 = a_{11} \times a_{22} = 1 \times 5 = 5，这是一个偶排列（τ(12)=0），故为正数$
$2 1 = a_{12} \times a_{21} = 2 \times 4 = 8 \times -1 = -8，这是一个偶排列（τ(21)=1），故为负数$

将上面所有数求和，结果为 $-3$

故答案为 $-3$

【例2】求下列三阶行列式。

$\left| \matrix{ 1 & 2 & 3 \cr 4 & 5 & 6 \cr 7 & 8 & 9 } \right|$

先自行做一下，下方黑框中有题解，鼠标放上去就显示！

我们使用定义法来做：

所有排列：
$1 2 3 = a_{11} \times a_{22} \times a_{33} = 1 \times 5 \times 9 = 45，这是一个偶排列（\tau(123) = 0），故为正数$
$1 3 2 = a_{11} \times a_{13} \times a_{12} = 1 \times 6 \times 8 = 48 \times -1 = -48，这是一个奇排列（\tau(132) = 1），故为负数$
$2 1 3 = 2 \times 4 \times 9 = 72 \times -1 = -72$
$2 3 1 = 2 \times 6 \times 7 = 84$
$3 1 2 = 3 \times 4 \times 8 = 96$
$3 2 1 = 3 \times 5 \times 7 = 105 \times -1 = -105$

将上面所有数求和，结果为 $0$
~~居然是零诶！~~

（5）二阶行列式直接计算

\left| \matrix{ a & b \cr c & d } \right| = ad - bc

【例】求下列二阶行列式

$\left| \matrix{ \cos\theta & \sin\theta \cr -\sin\theta & \cos\theta } \right|$

$原式 = cos^2\theta + sin^2\theta = 1$